1. 群 $Z_3 \rtimes Z_4$ 的生成元与关系

这句话是本节的引言。在前面的章节中，我们已经学习了许多关于群的理论，特别是Sylow定理等工具，这些工具使我们能够分析和分类有限群的结构。现在，我们将利用这些知识，来具体地列出一个清单，这个清单展示了阶数（群中元素的个数）比较小的那些群，它们都长什么样。这里的“长什么样”在数学上用“同构类型”来精确描述。如果两个群是同构的，那么它们在结构上被认为是同一个群，即使它们的元素和运算的具体定义看起来不同。所以，这个表格的目标是为每一个小阶数，列出所有“本质上不同”的群。

这句话解释了即将出现的表格中一些复杂群的来源和描述方式。

1. 不熟悉的非阿贝尔群：表格里会有些我们熟悉的群，比如循环群 $Z_n$ 和二面体群 $D_{2n}$。但也会有一些新的、名字比较奇怪的群。这些新面孔基本上都是非阿贝尔群（即运算不满足交换律的群，ab ≠ ba）。
2. 半直积：作者指出，这些复杂的非阿贝尔群，其构造方法将在本书的第5.5节中详细介绍，这个构造方法叫做“半直积”。半直积是一种将两个较小的群（一个正规子群和一个普通子群）“粘合”起来构成一个更大群的方法，但粘合方式比直积更复杂，允许一个群的元素去“扭曲”另一个群的结构，从而产生非阿贝尔群。
3. 生成元和关系（表示）：虽然现在还没学半直积，但为了能描述这些群，作者提供了一种替代方法，叫做“表示”（presentation）。一个群的表示由两部分组成：
   • 生成元 (generators)：群中的一些基本元素，通过它们的组合可以得到群里所有的元素。就像字母表里的字母可以拼出所有单词一样。
   • 关系 (relations)：这些生成元需要满足的一组“等式规则”。这些规则限制了生成元的行为，并最终确定了整个群的结构。

所以，即使我们不知道这些群是怎么“造”出来的，通过它们的生成元和关系，我们也能精确地定义它们，并研究其性质。

这部分详细解释了一个12阶非阿贝尔群 $Z_3 \rtimes Z_4$。

1. 名称与阶：$Z_3 \rtimes Z_4$ 是这个群的名字，表示它是3阶循环群 $Z_3$ 和4阶循环群 $Z_4$ 的半直积。它的阶是 $3 \times 4 = 12$。
2. 生成元和关系：
   • $\langle x, y \mid \dots \rangle$ 这个符号表示“由生成元x和y，在满足‘|’后面的关系下，所生成的群”。
   • $x^4=1$：生成元 $x$ 的阶是4。可以把它想象成一个操作，重复4次就等于什么都没做。由 $x$ 生成的子群 $\langle x \rangle$ 同构于 $Z_4$。
   • $y^3=1$：生成元 $y$ 的阶是3。由 $y$ 生成的子群 $\langle y \rangle$ 同构于 $Z_3$。
   • $x^{-1} y x = y^{-1}$：这是最关键的一条关系，它描述了两个生成元如何相互作用，也是这个群非阿贝尔性质的根源。这个等式表明 $x$ 和 $y$ 不交换。如果我们尝试交换它们的位置，会得到 $yx = xy^{-1}$。因为 $y^{-1} \neq y$ (y的阶是3)，所以 $yx \neq xy$。
3. 结构解释：
   • 正规的Sylow 3-子群：群的阶是12 = $3 \times 2^2$。根据Sylow定理，它必然存在Sylow 3-子群（阶为3）和Sylow 2-子群（阶为4）。这里的子群 $\langle y \rangle$ 就是一个阶为3的子群，因此是Sylow 3-子群。关系 $x^{-1}yx = y^{-1}$ 意味着对 $\langle y \rangle$ 中任意元素 $y^k$ 进行共轭操作，$x^{-1}y^k x = (x^{-1}yx)^k = (y^{-1})^k = y^{-k}$，结果仍然在 $\langle y \rangle$ 中。这意味着 $\langle y \rangle$ 是一个正规子群。
   • 共轭作用反转：关系 $x^{-1}yx = y^{-1}$ 的含义是，用元素 $x$ 对元素 $y$ 进行共轭操作，得到的结果是 $y$ 的逆元。这是一种“反转”操作。
   • $x^2$ 中心化 $y$：让我们看看 $x^2$ 对 $y$ 的共轭作用是什么。

这部分解释了另一个18阶的非阿贝尔群 $(Z_3 \times Z_3) \rtimes Z_2$。

1. 名称与阶：群名为 $(Z_3 \times Z_3) \rtimes Z_2$，是 $Z_3 \times Z_3$ 与 $Z_2$ 的半直积。它的阶是 $(3 \times 3) \times 2 = 18$。
2. 生成元和关系：
   • $\langle x, y, z \mid \dots \rangle$：群由三个生成元 $x, y, z$ 生成。
   • $x^2=1$：生成元 $x$ 的阶是2。$\langle x \rangle \cong Z_2$。
   • $y^3=1, z^3=1$：生成元 $y$ 和 $z$ 的阶都是3。
   • $yz=zy$：生成元 $y$ 和 $z$ 相互交换。这意味着由 $y$ 和 $z$ 生成的子群 $\langle y, z \rangle$ 是一个阿贝尔群。
   • $x^{-1} y x = y^{-1}$ 和 $x^{-1} z x = z^{-1}$：这是半直积的“扭曲”关系。2阶元素 $x$ 通过共轭，同时“反转”了 $y$ 和 $z$。
3. 结构解释：
   • 正规的Sylow 3-子群：群的阶是 $18 = 9 \times 2 = 3^2 \times 2$。Sylow 3-子群的阶是9。由关系 $y^3=z^3=1, yz=zy$ 可知，子群 $\langle y, z \rangle$ 是一个9阶阿贝尔群。9阶的阿贝尔群只有两种：$Z_9$ 和 $Z_3 \times Z_3$。因为它的所有非单位元（如y, z）的阶都是3，所以它不可能是 $Z_9$（$Z_9$ 有阶为9的元素）。因此，$\langle y, z \rangle \cong Z_3 \times Z_3$。共轭关系 $x^{-1}yx=y^{-1}$ 和 $x^{-1}zx=z^{-1}$ 表明，用 $x$ 对 $\langle y, z \rangle$ 中任何元素进行共轭，结果仍在该子群中，所以 $\langle y, z \rangle$ 是一个正规子群。
   • 共轭作用反转：元素 $x$ 的作用非常一致，它把 $\langle y, z \rangle$ 中的基底元素 $y$ 和 $z$ 都映成了它们的逆。对于该子群中的任意元素 $y^i z^j$，我们有：

这段内容解释了一个20阶的非阿贝尔群 $Z_5 \rtimes Z_4$。这个解释的结构和逻辑与之前12阶的群 $Z_3 \rtimes Z_4$ 完全相同，只是把阶数3换成了5。

1. 名称与阶：群名为 $Z_5 \rtimes Z_4$，表示5阶循环群 $Z_5$ 与4阶循环群 $Z_4$ 的半直积。它的阶是 $5 \times 4 = 20$。
2. 生成元和关系：
   • $\langle x, y \mid \dots \rangle$：群由生成元 $x$ 和 $y$ 生成。
   • $x^4=1$：生成元 $x$ 的阶是4。$\langle x \rangle \cong Z_4$。
   • $y^5=1$：生成元 $y$ 的阶是5。$\langle y \rangle \cong Z_5$。
   • $x^{-1} y x = y^{-1}$：定义了 $x$ 和 $y$ 之间的非交换关系。$x$ 对 $y$ 的共轭作用是将其“反转”。
3. 结构解释：
   • 正规的Sylow 5-子群：群的阶是 $20 = 5 \times 2^2$。Sylow 5-子群的阶是5。这里的子群 $\langle y \rangle$ 就是一个阶为5的子群，因此是Sylow 5-子群。根据Sylow定理，20阶群的Sylow 5-子群数量 $n_5$ 必须满足 $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ 且 $n_5$ 整除 $4$。唯一的可能是 $n_5=1$，所以Sylow 5-子群是唯一的，因而是正规的。这与关系式 $x^{-1}yx = y^{-1} \in \langle y \rangle$ 所蕴含的 $\langle y \rangle$ 是正规子群的结论一致。
   • 共轭作用反转：$x$ 通过共轭将 $y$ 变成其逆元 $y^{-1}$。
   • $x^2$ 中心化 $y$：与 $Z_3 \rtimes Z_4$ 的情况完全一样，计算 $x^{-2}yx^2$ 会得到 $y$。这意味着 $x^2$ 与 $y$ 交换。$x$ 的奇数次幂反转 $y$，偶数次幂中心化 $y$。

这个表格是本节的核心，它总结了阶数从7到20的所有群的同构类型。

• 阶 (Order)：第一列，表示群中元素的个数。
• 群的数量 (Number of Groups)：第二列，表示给定阶数下，总共有多少个本质不同（非同构）的群。
• 阿贝尔群 (Abelian Groups)：第三列，列出了该阶数下所有的阿贝尔群（运算满足交换律）。
• 有限阿贝尔群基本定理表明，任何有限阿贝尔群都可以唯一地分解为一系列循环群的直积 $Z_{p_1^{a_1}} \times Z_{p_2^{a_2}} \times \dots$。所以这一列的群都是这种形式。
• 例如，阶为8的阿贝尔群：$8 = 2^3$。3的整数分拆有3种：3 ($Z_{2^3}=Z_8$)，2+1 ($Z_{2^2} \times Z_{2^1} = Z_4 \times Z_2$)，1+1+1 ($Z_2 \times Z_2 \times Z_2$) 。
• 非阿贝尔群 (Non-Abelian Groups)：第四列，列出了该阶数下所有的非阿贝尔群。
• 素数阶：阶为 7, 11, 13, 17, 19 的群都是素数p。根据拉格朗日定理的推论，任何素数p阶群都同构于循环群 $Z_p$，因此它们必然是阿贝尔群，没有非阿贝尔群。
• $p^2$ 阶：阶为 9 ($=3^2$) 的群。任何 $p^2$ 阶群都是阿贝尔群。所以只有 $Z_9$ 和 $Z_3 \times Z_3$，没有非阿贝尔群。
• pq 阶：阶为 10 ($=2 \cdot 5$), 14 ($=2 \cdot 7$), 15 ($=3 \cdot 5$) 的群。
• 如果 $p<q$ 且 $p$ 不能整除 $q-1$，则pq阶群只有一种，即循环群 $Z_{pq}$。例如阶为15时，$p=3, q=5$, $3 \nmid (5-1)=4$，所以只有 $Z_{15}$。
• 如果 $p<q$ 且 $p$ 整除 $q-1$，则pq阶群有两种：阿贝尔的 $Z_{pq}$ 和非阿贝尔的 $Z_q \rtimes Z_p$（通常就是二面体群 $D_{2q}$ 如果 $p=2$）。例如阶为10时，$p=2, q=5, 2 \mid (5-1)=4$，所以有 $Z_{10}$ 和 $D_{10}$。阶为14时，$p=2, q=7, 2 \mid (7-1)=6$，所以有 $Z_{14}$ 和 $D_{14}$。
• 复杂阶数：阶为 8, 12, 16, 18, 20 的情况比较复杂。
• 阶为8：有3个阿贝尔群和2个非阿贝尔群：二面体群 $D_8$ 和四元数群 $Q_8$。
• 阶为12：有2个阿贝尔群和3个非阿贝尔群：交错群 $A_4$（正四面体旋转群），二面体群 $D_{12}$，以及我们刚讨论过的 $Z_3 \rtimes Z_4$。
• 阶为16：这是第一个出现群数量暴增的阶数，总共有14种。阿贝尔群有5种，非阿贝尔群有9种，作者在这里省略了非阿贝尔群的列表，因为它们比较复杂。
• 阶为18：有2个阿贝尔群和3个非阿贝尔群：二面体群 $D_{18}$，$S_3 \times Z_3$，以及我们讨论过的 $(Z_3 \times Z_3) \rtimes Z_2$。
• 阶为20：有2个阿贝尔群和3个非阿贝尔群：二面体群 $D_{20}$，我们讨论过的 $Z_5 \rtimes Z_4$，以及下面将要介绍的弗罗贝尼乌斯群 $F_{20}$。

这部分介绍了20阶的第三个非阿贝尔群, $F_{20}$。

1. 名称与阶：$F_{20}$，20阶的弗罗贝尼乌斯群。阶为20。
2. 生成元和关系：
   • $\langle x, y \mid \dots \rangle$：由 $x$ 和 $y$ 生成。
   • $x^4=1$：生成元 $x$ 的阶是4。
   • $y^5=1$：生成元 $y$ 的阶是5。
   • $xyx^{-1} = y^2$：这是核心关系。注意，这里的右边不再是 $y^{-1}$，而是 $y^2$！$x$ 的共轭作用不再是“反转”，而是“平方”。这个关系也可以写作 $yx^{-1} = x^{-1}y^2$ 或 $xy=y^2x$。
3. 结构解释：
   • 正规的Sylow 5-子群：和 $Z_5 \rtimes Z_4$ 一样，Sylow 5-子群 $\langle y \rangle$ 是唯一的，因而是正规的。
   • 共轭作用变为平方：$x$ 对 $y$ 的作用是将 $y$ 映射到 $y^2$。这是一个 $Z_5$ 的自同构。在模5的乘法群 $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times = \{1, 2, 3, 4\}$ 中，元素2的阶是4 ($2^1=2, 2^2=4, 2^3=3, 2^4=1$)。因此，映射 $\phi_2: k \mapsto 2k \pmod 5$ 是一个4阶自同构。这个半直积就是由 $Z_4$ 到 $Aut(Z_5) \cong Z_4$ 的一个同态（生成元 1 映为生成元 2）定义的。
4. 在 $S_5$ 中的实现：
   • 作者给出了一个具体的例子，说明 $F_{20}$ 可以作为 $S_5$（5个元素的全排列群）中的一个子群存在。
   • $y = (12345)$：这是一个5-轮换，阶为5。它生成了 $S_5$ 的一个Sylow 5-子群。
   • $x = (2354)$：这是一个4-轮换，阶为4。
   • 让我们来验证关系 $xyx^{-1} = y^2$：
   • Sylow 5-子群的正规化子：在 $S_5$ 中，Sylow 5-子群有 $4! = 24$ 个共轭，所以 $n_5 = \frac{5!}{|\text{Normalizer}|} = \frac{120}{|\text{Normalizer}|} = 6$。$|N_{S_5}(\langle y \rangle)| = 120/6 = 20$。因此，这个20阶的 $F_{20}$ 群正是 $S_5$ 中一个Sylow 5-子群的正规化子。

这道习题是对手册中“未列出”的16阶非阿贝尔群的一个补充。它要求学生去证明给出的6个群（都是16阶非阿贝尔群）是两两不同的（非同构）。

• 证明非同构：要证明两个群 $G$ 和 $H$ 非同构，需要找到一个在同构下保持不变的性质，而 $G$ 和 $H$ 在这个性质上表现不同。常用的性质有：

1. 群的阶（这里都是16，没用）。
2. 是否阿贝尔（这里都是非阿贝尔，没用）。
3. 中心的阶或结构。如果 $Z(G) \not\cong Z(H)$，则 $G \not\cong H$。
4. 换位子群 $G'$ 的阶或结构。
5. 元素的阶的分布。例如，一个群有10个2阶元素，另一个只有2个，那它们肯定不同。
6. 子群的结构。例如，一个群所有真子群都是阿贝尔的，另一个有非阿贝尔的真子群。

• 列出的群：
• $D_{16}$：16阶二面体群，正八边形的对称群。表示为 $\langle r,s \mid r^8=s^2=1, srs=r^{-1} \rangle$。
• $Z_2 \times D_8$：2阶循环群和8阶二面体群的直积。
• $Z_2 \times Q_8$：2阶循环群和8阶四元数群的直积。
• $Z_4 * D_8$：这是一种叫做“中心积”的构造，在之前的习题中定义。
• $QD_{16}$：拟二面体群（Quasidihedral group），也叫半二面体群（semidihedral group），有特定的生成元和关系。
• $M$：另一个在习题中定义的16阶群，有时称为模群（Modular group），但这里的M可能指代Pauli matrix group相关的某个群。

• 解题思路：

对于这6个群，可以挨个计算它们的中心、各阶元素的数量等不变量，然后制作一个表格进行比较。

例如（以下是一些已知事实，证明过程需要具体计算）：

1. 中心：
   • $Z(D_{16}) \cong Z_2$ (由 $r^4$ 生成)。
   • $Z(Z_2 \times D_8) = Z(Z_2) \times Z(D_8) = Z_2 \times Z_2$。
   • $Z(Z_2 \times Q_8) = Z(Z_2) \times Z(Q_8) = Z_2 \times Z_2$。
   • $Z(QD_{16}) \cong Z_2$。
2. 仅仅通过中心，我们就可以把 $\{D_{16}, QD_{16}, \dots\}$ 和 $\{Z_2 \times D_8, Z_2 \times Q_8, \dots\}$ 区分开。
3. 区分 $Z_2 \times D_8$ 和 $Z_2 \times Q_8$：需要看2阶元素的数量。
   • $D_8$ 有5个2阶元素（4个翻转和1个180度旋转）。$Z_2 \times D_8$ 的2阶元素有：$(1, s_i)$ (5个), $(z, 1)$ (1个), $(z, r^2)$ (1个)。总数不止这些，需要仔细算。一个2阶元素 $(a,b)$ 满足 $a^2=1, b^2=1$（除了(1,1)）。$Z_2$ 有1个2阶元，$D_8$ 有5个。2阶元素有 $(0, s_i)$ (4个), $(0, r^2)$, $(1, 1)$。还有 $(1, s_i)$, $(1,r^2)$ 的阶是lcm(2,2)=2。所以有 $1 \times 5 + 1 \times 1 + 1 \times 5 = 11$ 个2阶元素？不，是 $(g,h)$ 其中 $g\in Z_2, h \in D_8$, $(g,h)\neq(1,1)$ and $(g,h)^2=(1,1)$。$g^2=1, h^2=1$。所以是 $(1+1)(5+1)-1 = 2 \times 6 - 1 = 11$ 个。
   • $Q_8$ 只有1个2阶元素 ($-1$)。$Z_2 \times Q_8$ 的2阶元素有 $(1+1)(1+1)-1 = 3$ 个。
   • 因为 $11 \neq 3$，所以 $Z_2 \times D_8 \not\cong Z_2 \times Q_8$。
4. 通过类似的方法，计算每个群的特征不变量，就可以将它们一一区分开。